理解を確固たるものにするため、頻出パターンの二重根号 計算問題 練習問題と、難関大受験生向けの発展課題に挑戦してみましょう。
基本演習：係数処理と符号の確認
【問1】 $\sqrt{10 - 4\sqrt{6}}$ を簡単にせよ。
【解説・解答】
1. ルートの前が「4」になっているため、2だけを残して残りの2をルートの中に入れます。
2. $4\sqrt{6} = 2 \times (2\sqrt{6}) = 2\sqrt{2^2 \times 6} = 2\sqrt{24}$ と変形します。
3. 与式は $\sqrt{10 - 2\sqrt{24}}$ となります。
4. 「足して10、掛けて24」になる2数は 6と4 です。
5. 大小関係 $6 > 4$ に注意してマイナスで外します。
$\sqrt{6} - \sqrt{4} = \mathbf{\sqrt{6} - 2}$
【問2】 $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ を簡単にせよ。
【解説・解答】
1. 前に2がなく中身からも出せないため、分母・分子に2を掛けます。
2. $\sqrt{\dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$
3. 分子は「足して4、掛けて3」なので 3と1 です。$\sqrt{3} + 1$
4. 有理化を行います。
$\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{2} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}}$
発展演習：3重根号 外し方 発展問題
一部の難関私立大や国公立大の小問で出題される、根号が3重に重なった発展問題の解法を確認します。
【問3】 $\sqrt{3 + \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}}}$ を簡単にせよ。
【解説・解答】
多重根号の鉄則は「最も内側の根号からタマネギの皮を剥くように1つずつ外す」ことです。
ステップ1：最深部の二重根号を外す
$\sqrt{13 + \sqrt{48}} = \sqrt{13 + 2\sqrt{12}}$
「足して13、掛けて12」になる2数は 12と1 です。
$\sqrt{12} + \sqrt{1} = 2\sqrt{3} + 1$
ステップ2：外れた値を元の式に代入して次の二重根号を整理する
内側の引き算に代入します。
$5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}} = 5 - (2\sqrt{3} + 1) = 4 - 2\sqrt{3}$
これにルートがかかっているので、$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ を外します。
「足して4、掛けて3」の2数は 3と1 ($3 > 1$) なので、$\sqrt{3} - 1$ となります。
ステップ3：一番外側の根号を処理する
$3 + \sqrt{5 - \dots} = 3 + (\sqrt{3} - 1) = 2 + \sqrt{3}$
最後に残った式は $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ です。これは【問2】で解いた分数変形の形そのものです。
$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}}$
一見威圧感のある3重根号であっても、基本公式を内側から忠実に適用していくだけで確実に解答へ到達できます。
