中学校に進学すると、中学数学 多角形の内角と外角の単元において、この五角形の具体例が文字式へと一般化され、多角形の内角の和 公式として定義されます。それが以下の公式です。
n角形の内角の和 ＝ 180° × (n − 2)
数学が苦手な中学生が最も疑問を抱くのは、「なぜ『n − 2』なのか？」という点です。ここにも明確な数学的必然性があります。多角形の内角の和の公式 証明として、先ほどの手法をn角形に拡張して論理的に紐解いてみましょう。
頂点がn個あるn角形において、ある1つの頂点を選びます。その頂点自身には対角線は引けません（1個分）。また、その頂点の左右両隣にある頂点に線を結んでも、それは対角線ではなく「多角形の辺」になってしまいます（2個分）。つまり、選んだ1つの頂点から対角線を引けない頂点が合計で「1 ＋ 2 ＝ 3個」存在します。
そのため、1つの頂点から引ける対角線の本数は必ず「n − 3本」となります。対角線を1本引くたびに領域が1つ増えるため、対角線によって分割される三角形の数は対角線の本数より1つ多くなります。したがって、作られる三角形の個数は「(n − 3) ＋ 1 ＝ n − 2個」となるのです。
五角形であれば 5 − 2 ＝ 3個、六角形であれば 6 − 2 ＝ 4個の三角形が内部に生まれます。それぞれの三角形が180度を持っているため、「180° × (n − 2)」というn角形の内角の和の公式が導かれます。公式をただの文字列として機械的に頭に詰め込むのではなく、構造の成り立ちを理解することこそが、数学的リテラシーの第一歩です。
