円と直線の共有点の個数や位置関係を調べる際、解法は大きく分けて判別式$D$を用いる代数的手法と、点と直線の距離$d$を用いる幾何的手法の2通りが存在します。
直線の式を円の方程式に代入して得られる2次方程式の判別式を$D$とすると、位置関係は以下のように分類されます。
・$D > 0 \iff$ 異なる2点で交わる（共有点2個）
・$D = 0 \iff$ 1点で接する（共有点1個）
・$D < 0 \iff$ 共有点を持たない（共有点0個）
しかし、実際の入試現場で推奨されるのは、円の中心と直線の距離$d$と、円の半径$r$を比較する方法です。点$(x_0, y_0)$と直線$Ax + By + C = 0$の距離公式は次の通りです。
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
この$d$と半径$r$の大小関係を比較します。
・$d < r \iff$ 異なる2点で交わる
・$d = r \iff$ 1点で接する
・$d > r \iff$ 共有点を持たない
距離公式を用いる手法は、代入による複雑な展開計算を回避できるため、計算スピードと解答の正確性が圧倒的に向上します。特に文字定数を含む問題では、計算ミスのリスクを最小限に抑える決定打となります。
