結論から述べると、家族がインフルエンザに感染したことのみを理由とする法律上の出勤停止義務はありません。労働安全衛生法や感染症法において、本人が感染していない「濃厚接触」の段階で就業を一律に制限する法的な規定は存在しないためです。
小中学校や幼稚園などでは、学校保健安全法によって「発症した後5日を経過し、かつ解熱した後2日(幼児は3日)を経過するまで」というインフルエンザ出席停止期間が厳格に定められています。しかし、労働者である大人に対して同様の法律がそのまま適用されるわけではありません。
したがって、法的な観点だけで見れば「本人が無症状であれば出勤すること自体は違法ではない」というのが原則的な解釈です。ただし、実際の職場では就業規則による独自の定めや、事業主が負う安全配慮義務が優先されるケースが多いため、法律上問題がないからといって独断で普段通り出社するのは早計といえます。