文部科学省の中学校学習指導要領において、球の表面積公式 $S = 4\pi r^2$ は証明なしの公式利用（いわゆる天下り的指導）にとどめられています。中学生の段階では厳密な証明に必要な微分積分学を未履修であるためです。
しかし、高校数学（数学IIIの積分法）を学ぶことで、この公式を厳密に導出・証明できるようになります。導出アプローチには主に2つの代表的な手法が存在します。
1. アルキメデスの手法（円柱への射影）
紀元前3世紀の数学者アルキメデスは、球がぴったり収まる円柱（底面の半径 $r$、高さ $2r$）を考え、「球の表面積は、外接する円柱の側面積に等しい」ことを発見しました。円柱の側面積は「底面の円周 $\times$ 高さ」で求められるため、
$$(\text{側面積}) = 2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$$
となり、微分積分を使わずに鮮やかに導出されます。
2. 高校数学IIIにおける回転体の表面積積分
高校数学では、原点を中心とする半円の方程式 $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の側面積として計算します。回転面の微小表面積 $dS$ は $2\pi y \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$ で表されるため、
$$y' = \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}, \quad \sqrt{1 + (y')^2} = \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}$$
これを $-r$ から $r$ まで定積分します。
$$S = \int_{-r}^{r} 2\pi y \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} \, dx = \int_{-r}^{r} 2\pi r \, dx = [2\pi r x]_{-r}^{r} = 4\pi r^2$$
被積分関数内のルートが綺麗に約分され、極めて単純な定数関数の積分に帰着する点は、数学的な美しさを象徴する代表例です。
