高校数学の最高峰に位置する微積分学を使えば、より厳密かつエレガントに論理を展開できる。17世紀後半、アイザック・ニュートンらが体系化した微積分は、幾何学の疑問に明快な解答を与えた。
$x$ 軸上に中心を持つ半径 $R$ の球を考える。断面の円の半径は $\sqrt{R^2 - x^2}$ となり、その断面積は $\pi (R^2 - x^2)$ だ。これを $-R$ から $R$ までの区間で定積分すると、見事に $\frac{4}{3}\pi R^3$ が得られる。さらに興味深い事実がある。球の体積の公式 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ を半径 $r$ で微分すると、なんと球の表面積の公式 $S = 4\pi r^2$ が姿を現すのだ。球を玉ねぎのように無限に薄い皮の層として重ね合わせた構造だと捉えれば、体積の微小な変化量がそのまま表面積になるという美しい調和が理解できる。
