中学数学の後半および高校数学Aの幾何分野で、受験生を悩ませる「三角形の五心（外心・内心・重心・垂心・傍心）」。その中でも垂直二等分線と外心の関係は、図形の対称性を語る上で最も美しく、最も出題頻度の高いトピックです。
教科書には「三角形の各辺の垂直二等分線は、必ず1点で交わる。この点を外心と呼ぶ」と書かれています。しかし、なぜ3本もの線が都合よくピッタリ1点で交差するのでしょうか。ここに幾何学の深いカラクリがあります。
任意の三角形ABCにおいて、まず辺ABの垂直二等分線と、辺BCの垂直二等分線を引きます。平行でない2本の直線は、必ずどこか1点（点O）で交わります。この交点Oの正体を先ほどの「距離の性質」で捉え直してみます。
・点Oは辺ABの垂直二等分線上にあるため、$\text{OA} = \text{OB}$が成り立ちます。
・同時に、点Oは辺BCの垂直二等分線上にもあるため、$\text{OB} = \text{OC}$が成り立ちます。
この2つの式をつなげると、自ずと$\text{OA} = \text{OC}$という結論が導き出されます。点Oから頂点Aまでの距離と、頂点Cまでの距離が等しいということは、点Oは「辺ACの垂直二等分線上」にも絶対に存在していなければならないことを意味します。つまり、残る1本の垂直二等分線を引けば、証明するまでもなく先ほどの交点Oを必ず通過する運命にあるのです。
そして、$\text{OA} = \text{OB} = \text{OC}$であるということは、点Oにコンパスの針を刺し、半径OAで円を描けば、3つの頂点A、B、Cを完璧に通過する円が描けます。これこそが「外接円」であり、その中心こそが「外心」です。「3辺の垂直二等分線の交点＝外接円の中心」という公式を丸暗記していた人にとって、この論理の必然性は目から鱗が落ちる体験となるはずです。
