結論から言えば、「smell」は善悪の判断を含まない中立的な単語であり、「odor」は基本的にネガティブな悪臭や不快な臭気を連想させる単語です。
「smell」は人間の嗅覚で知覚できるあらゆる匂いを包括します。焼きたてのパンの香りから雨上がりの土の匂い、生ゴミの悪臭まで、文脈や修飾語（good / bad）によってあらゆる方向へ変化できるのが特徴です。
対する「odor」は、単体で使われると「悪臭（bad smell）」とほぼ同義として受け取られます。学術論文、消臭剤のパッケージ、医療現場などのフォーマルな場では「客観的な気体成分・臭気」として中立的に扱われることもありますが、日常会話で誰かの体や持ち物に対して「odor」を使うと、「不快な体臭や異臭が漂っている」という極めて失礼な意味合いになってしまいます。
なお、「odor」の発音はカタカナ表記で「オウダー」（アメリカ英語：/ˈoʊ.dɚ/、イギリス英語：/ˈəʊ.də/）に近く、第1音節にアクセントを置きます。「オドール」と語尾を伸ばして発音しないよう注意が必要です。
